τοπολογία

Ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά γενικά τους τόπους στην ευρύτερη έννοια, είτε αυτοί είναι επιφάνειες, χώροι, σχήματα, σώματα ή αντικείμενα, στη στατική και αμετάβλητη μορφή τους, είτε υπόκεινται σε δυναμικές μεταβολές του σχήματός τους, άσχετες προς το είδος και την κατάσταση της ύλης τους. Η τ., με τη συνεχή διεύρυνση του περιεχομένου της, τείνει να ταυτιστεί με τη γεωμετρία, τόσο ώστε η ευκλείδειος, αλλά και η μη ευκλείδειος γεωμετρία να περιλαμβάνονται ως τμήματά της. Ειδικότερα, η τ. μελετά τις ιδιότητες των μαθηματικών σχημάτων και χώρων, οι οποίες παραμένουν αμετάβλητες όταν τα σχήματα, οι χώροι ή τα σώματα υφίστανται συνεχείς παραμορφώσεις (τέντωμα, στρέψη, σύνθλιψη κλπ.), αυτές δηλαδή που δεν επιφέρουν κοπή, σπάσιμο ή δίπλωμα του σχήματος. Κατά τις μεταμορφώσεις αυτές, τα κοντινά σημεία γίνονται ακόμα κοντινότερα, ή απομακρύνονται, ενώ αν υπάρχουν σχήματα επάνω σε αυτά παραμορφώνονται απεριόριστα. Η κυρίως τ. διακρίνεται από την ευκλείδειο και τη μη ευκλείδειο γεωμετρία (Ρίμαν, Λομπατσέφσκι κλπ.) γιατί αυτές είναι μετρικές, ενώ η τ. δεν μετρά μήκη, γωνίες, τόξα ή σχέσεις, αλλά την ποιοτική κατάσταση των σχημάτων. Από τοπολογική άποψη π.χ. μια περιφέρεια, μια έλλειψη ή ένα πολύγωνο, δηλαδή όλες οι κλειστές και μη συναντώμενες γραμμές, είναι ισοδύναμες, ακριβώς γιατί η μία μπορεί να μεταβληθεί, με παραμόρφωση, στη μορφή της άλλης. Αντίθετα δεν είναι ισοδύναμες π.χ. μια περιφέρεια και η γραμμή που έχει το σχήμα 8. Κατά ανάλογο τρόπο, μια σφαιρική επιφάνεια, μια ελλειψοειδής, η επιφάνεια ενός κύλινδρου ή ενός πολυέδρου δεν διακρίνονται από τοπολογική άποψη όσες παραμορφώσεις και αν υπέστησαν, ενώ διαφέρει τοπολογικά η επιφάνεια που καθορίζει ένας οποιοσδήποτε δακτύλιος. Οι πρώτες χαρακτηρίζονται ως επιφάνειες πρώτου βαθμού, ενώ η δεύτερη (δακτύλιος) δευτέρου βαθμού, επειδή έχει ένα οποιουδήποτε σχήματος ή, μεγέθους διαμπερές κενό, το οποίο όμως δεν διακόπτει τη συνέχεια του σώματος. Επιφάνεια τρίτου βαθμού είναι τα σχήματα με δύο διαμπερείς οπές κλπ. Έτσι η ταινία του Μέμπιους (επιφάνεια με μία όψη) διαφέρει από το απλό επίπεδο και τη σφαιρική επιφάνεια. Στη βάση της τ. υπάρχει η γνώση του τοπολογικού χώρου, που θεωρείται ένα οποιοδήποτε σύνολο στοιχείων, έστω σημείων, στο οποίο διακρίνονται μερικά υποσύνολα ανοιχτά, η ένωση ή η τομή των οποίων διαφοροποιείται σύμφωνα με ορισμένα αξιώματα. Θεωρήματα τοπολογικής φύσης περιέχονται στις εργασίες του Όιλερ, του Γκάους, του Ρίμαν, του Τζόρνταν, του Μπέτι, του Πουανκαρέ.

* * *

η, Ν

1. μαθημ. α) δομή που ορίζεται πάνω σε ένα σύνολο σημείων, καλούμενο χώρος, με τη βοήθεια μιας οικογένειας υποσυνόλων του και έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: i) η ένωση ενός ορισμένου πλήθους στοιχείων τής οικογένειας είναι στοιχείο τής οικογένειας, ii) η τομή ενός πεπερασμένου αριθμού στοιχείων τής οικογένειας είναι στοιχείο τής οικογένειας, τα δε στοιχεία τής οικογένειας λέγονται ανοιχτά σύνολα τού αντίστοιχου χώρου ο οποίος ονομάζεται τοπολογικός χώρος

β) κλάδος τών μαθηματικών που μελετά τις ιδιότητες γεωμετρικών αντικειμένων ή συνόλων σημείων οι οποίες παραμένουν αναλλοίωτες με τους ομοιομορφισμούς

2. (τοπογρ.) η σπουδή τών μορφών τού εδάφους και τών νόμων που τίς διέπουν

3. φρ. «αλγεβρική τοπολογία»

μαθημ. τοπολογία η οποία εφαρμόζει αλγεβρικές μεθόδους για τη μελέτη προβλημάτων τα οποία αφορούν τοπολογικούς χώρους.

[ΕΤΥΜΟΛ. Αντιδάνεια λ., πρβλ. αγγλ. topology (< τόπος + -λογία*)].